3.827 \(\int x^{-m} (-a-b x)^{-n} (a+b x)^n \, dx\)

Optimal. Leaf size=34 \[ \frac{x^{1-m} (-a-b x)^{-n} (a+b x)^n}{1-m} \]

[Out]

(x^(1 - m)*(a + b*x)^n)/((1 - m)*(-a - b*x)^n)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0046255, antiderivative size = 34, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.08, Rules used = {23, 30} \[ \frac{x^{1-m} (-a-b x)^{-n} (a+b x)^n}{1-m} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*x)^n/(x^m*(-a - b*x)^n),x]

[Out]

(x^(1 - m)*(a + b*x)^n)/((1 - m)*(-a - b*x)^n)

Rule 23

Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(v_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[(a + b*v)^m/(c + d*v)^m, Int[u*
(c + d*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&  !(IntegerQ[m] || IntegerQ[n
] || GtQ[b/d, 0])

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^{-m} (-a-b x)^{-n} (a+b x)^n \, dx &=\left ((-a-b x)^{-n} (a+b x)^n\right ) \int x^{-m} \, dx\\ &=\frac{x^{1-m} (-a-b x)^{-n} (a+b x)^n}{1-m}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0060589, size = 34, normalized size = 1. \[ \frac{x^{1-m} (-a-b x)^{-n} (a+b x)^n}{1-m} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*x)^n/(x^m*(-a - b*x)^n),x]

[Out]

(x^(1 - m)*(a + b*x)^n)/((1 - m)*(-a - b*x)^n)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.001, size = 33, normalized size = 1. \begin{align*} -{\frac{x \left ( bx+a \right ) ^{n}}{ \left ( -1+m \right ){x}^{m} \left ( -bx-a \right ) ^{n}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a)^n/(x^m)/((-b*x-a)^n),x)

[Out]

-x/(-1+m)*(b*x+a)^n/(x^m)/((-b*x-a)^n)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.08007, size = 28, normalized size = 0.82 \begin{align*} -\frac{x}{{\left (\left (-1\right )^{n} m - \left (-1\right )^{n}\right )} x^{m}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n/(x^m)/((-b*x-a)^n),x, algorithm="maxima")

[Out]

-x/(((-1)^n*m - (-1)^n)*x^m)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 2.16617, size = 38, normalized size = 1.12 \begin{align*} -\frac{x \cos \left (\pi n\right )}{{\left (m - 1\right )} x^{m}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n/(x^m)/((-b*x-a)^n),x, algorithm="fricas")

[Out]

-x*cos(pi*n)/((m - 1)*x^m)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)**n/(x**m)/((-b*x-a)**n),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.62655, size = 2141, normalized size = 62.97 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n/(x^m)/((-b*x-a)^n),x, algorithm="giac")

[Out]

-(pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2*tan(1/4*pi*n*sg
n(b*x + a) - 3/4*pi*n) - pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*
pi*n)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 - b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4
*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 - pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x +
a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) + pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*ab
s(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) + pi*b
*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n
)^2 - pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)*tan(1/4*pi*n*sg
n(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 + b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2*tan(1/
4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 - a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x
+ a) - 1/4*pi*n)^2*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 + pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x +
 a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n) + b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4*pi*
n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2 - pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a)
- 3/4*pi*n) - 4*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)*t
an(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) - pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*p
i*n)^2*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) + b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4*
pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 + pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)*
tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 - pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) -
1/4*pi*n) + pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n) - b*x*abs
(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2 + a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log
(abs(b*x + a))*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2 + pi*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*
sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) - pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*sgn(b*x + a)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*
pi*n) + 4*b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a)
 - 3/4*pi*n) - 4*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)*ta
n(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) - b*x*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*
n)^2 + a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a))*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 - b*x*abs(
b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a)) - pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x +
a) - 1/4*pi*n) + pi*a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n) + b*x*abs(b*x + a
)^(-n)*abs(b*x + a)^n - a*abs(b*x + a)^(-n)*abs(b*x + a)^n*log(abs(b*x + a)))/(b*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1
/4*pi*n)^2*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 + b*tan(1/4*pi*n*sgn(b*x + a) - 1/4*pi*n)^2 + b*tan(1/4*pi*
n*sgn(b*x + a) - 3/4*pi*n)^2 + b)